Star Products and Local Line Bundles Étoile-produits Et Fibrés En Droite Locaux

The notion of a local line bundle on a manifold, classified by 2cohomology with real coefficients, is introduced. The twisting of pseudodifferential operators by such a line bundle leads to an algebroid with elliptic elements with real-valued index, given by a twisted variant of the AtiyahSinger index formula. Using ideas of Boutet de Monvel and Guillemin the corresponding twisted Toeplitz algebroid on any compact symplectic manifold is shown to yield the star products of Lecomte and DeWilde ([3]) see also Fedosov’s construction in [7]. This also shows that the trace on the star algebra is identified with the residue trace of Wodzicki ([18]) and Guillemin ([10]). La notion de fibrés en droite locaux sur une variété différentiable est introduite. Ces derniers sont classifiés par la cohomologie réelle de dimension 2. Le twist d’opérateurs pseudodifférentiels par de tels fibrés en droite donne lieu à un algébröıde contenant des éléments elliptiques dont l’indice à valeur dans les réels est donné par une variante de la formule de l’indice d’Atiyah et Singer. En utilisant des idées de Boutet de Monvel et Guillemin, on montre que, sur toute variété symplectique compacte, il est possible d’obtenir le produit étoilé de Lecomte et DeWilde [3] (voir aussi la construction de Fedosov [7]) à partir de l’algébröıde associé au twist des opérateurs de Toeplitz. Cela établit du même coup que la trace définie sur cette algèbre étoilée peut être identifiée avec la trace résiduelle de Wodzicki [18] et Guillemin [10].